高中數學數列不動點法？當n很大時，an其實很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）構成不動點。于是原始轉化為x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是數列an就是以A為公比的，那么，高中數學數列不動點法？一起來了解一下吧。
不動點法在求解數列通項公式時展現出其獨特優勢，其核心在于通過轉化與構造，找到數列的“不動點”，即使得數列某項值等于其前一項值的特定項。本文將詳細梳理不動點法求解數列通項公式的技巧，涵蓋多種模型與實例。
一、不動點法的基礎
不動點法的核心思想在于將遞推公式轉化為等差或等比數列的通項公式，或者通過待定系數法和逐步相減法求解。對于形如[公式]的遞推公式，若其滿足特定形式，則數列可以被轉化為等差或等比數列。對于形如[公式]的遞推公式，借助待定系數法和逐步相減法，通過構造新數列實現求解。
二、不動點法的應用模型
模型1：對于形如[公式]的遞推公式，首先判斷是否為等差或等比數列，然后采用待定系數法或逐步相減法求解。待定系數法中，尋找數列的不動點，即[公式]，從而構造新數列求解。逐步相減法則通過兩式相減，得到新的數列，進而求解。
模型2：針對形如[公式]（其中[公式]）的遞推公式，使用倒數法求解。通過取倒數構造新數列，分析其等差或等比性質，進而求解。對于滿足特定條件的數列，采用不動點法求解，找到數列的不動點，從而簡化求解過程。
模型3：對于形如[公式]的遞推公式，通過求解特征方程[公式]找到數列的通項公式。其中，若特征方程的根為兩個不等的實數，數列為等比數列；若根為一個實數，數列為等差數列；若根為復數，則數列可能為周期數列。
當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。
我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的兩個根為x1，x2，
若x1=x2
則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系數法求解，然后再利用等差數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系數法求解，然后再利用等比數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表達式記住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
簡單地說就是在遞推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后構造數列.（但要注意，不動點法不是萬能的，有的遞推式沒有不動點，但可以用其他的構造法求出通項；有的就不能求出）
我還是給幾個具體的例子吧：
1。
數列 {a(n)}，設遞推公式為 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，則其特征方程為 x^2-px-q=0 .
若方程有兩相異根 A、B，則 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始條件確定，下同)
若方程有兩等根 A=B，則 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分內容的證明過程：
設 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韋達定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根，也就是剛才說的特征根。
然后進一步證明那個通項公式：
如果r=s，那么數列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 為首項、r 為公比的等比數列，根據等比數列的性質可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
兩邊同時除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等號右邊的是個常數，說明數列{a(n)/r^n} 是個等差數列。
本文專為高中數學學生準備，旨在清晰解釋數列的不動點法。數列與函數間的關系猶如臺灣與中國的關系，不可分割。函數原理中，給定的數x經過映射后變為f(x)，這就像照鏡子看到自己的后背，形象地稱為“不動點”，意味著函數映射后結果與原數相同。
構造函數f(x)時，通過分解和提取公因式，可以發現不動點的性質，進一步幫助我們識別數列類型。例如，若存在不動點x，則數列為等比數列；若無不動點，則數列為等差數列。
數列求通項公式時，遇到特定結構如an = f(an-1)的類型，可以考慮使用不動點法。以類型1為例，即an = c*an-1 + d，通過尋找不動點，能判斷數列的性質。若存在不動點，數列為等比數列；若不存在，則為等差數列。
在具體問題中，令an = c*an-1 + d，求解不動點，得到等比數列的通項公式an = ar^n + b。對于類型2的分式結構問題，通過變形后求解不動點，能確定數列的等比性質。若不動點存在一個或兩個，則數列為等比或等差數列，具體情況需要根據題設條件來判斷。
以上解釋中，通過舉例說明，直觀展示了如何應用不動點法解決高中數學中的數列問題。這一方法既簡潔又高效，是解決數列求通項問題的重要技巧之一。
高中數學數列特征根的原理是韋達定理：
對于形如a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)的式子，總是存在 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] ，化簡得 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) ，即s+r=p，sr=-q，由韋達定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根，也就是特征根。
不動點法解通項公式的原理是極限思想：
對于形如a(n+1)=Aan+B的式子，
當n很大時，an其實很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）構成不動點。于是原始轉化為x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),
即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是數列an就是以A為公比的，是首項a1-B/(1-A)的數列，于是就可以求出通項公式了。
樓主，原創思想啊，望采納！！
以上就是高中數學數列不動點法的全部內容，遞推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)（n∈N*，A,B,C,D為常數，C不為0，AD-BC不為0，a1與a2不等）其特征方程為x=(A*x+B)/(C*x+D)特征方程的根稱為該數列的不動點 這類遞推式可轉化為等差數列或等比數列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有兩個不等的根α、β，內容來源于互聯網，信息真偽需自行辨別。如有侵權請聯系刪除。
